Question

如果方程x^2-6x-k-1=0与x^2-kx-7=0仅有一个相等的实数根

Answer 1

解：令两方程相同的根是x，则
x²-6x-k-1=0①
x²-kx-7=0②
由①－②得，(k－6)x＋(6－k)=0
则(k－6)(x－1)=0
则(k－6)=0或(x－1)=0
若x=1是两方程相等的根，则分别代入①②得
①1－6－k－1=0 得 k=－6
②1－k－7=0 得k=－6
把k=－6代入两个方程得到 ①x²－6x＋5=0 得x=1或者5
② x²＋6x-7=0 得x=1或者－7
所以k=－6满足题意
若(k－6)=0即k=6，则得到两个方程相同即k=6不成立。
综上所述k=－6。

Answer 2

这是一道关于二次函数与方程关系的问题
由题可知，如果把方程转化为二次函数，那么当y相等时，这两个函数只有1个交点
可以列出等式
x²-6x-k-1=x²-kx-7
-6x+kx+6-k=0
只有一个交点，就是说x是唯一得值，就是△=0
∴b²-4ac=0
k²-4【-6（6-k）】=0
k²-24k+144=0
（k-12）²=0
k=12

Answer 3

设方程x2-6x-k-1=0与x2-kx-7=0．
公共根为x0，则x02-6x0-k-1=0①
x02-kx0-7=0②
①-②得（x02-6x0-k-1）-（x02-kx0-7）=0，
-6x0+kx0-k-1+7=0，
x0（k-6）-（k-6）=0，
（k-6）（x0-1）=0．
①若k≠6，则x0=1．
当x0=1时，12-6×1-k-1=0，
所以k=-6．
②若k=6，则x0≠1．
方程x2-6x-6-1=0，
x2-6x-7=0．
所以（x-7）（x+1）=0，
即x1=7，x2=-1．
而x2-6x-7=0与上述方程是同一方程．
所以当k=-6时，方程的公共根为x=1．

Answer 4

联立 根的判别式=0

Answer 5

x=1