Question

已知：a,b,c为实数且满足a+b+c=0,abc=8。c>0,求证：c≥32的立方根。速求。

是寒假生活上的，九上。

Answer 1

abc=8>0,因c>0,故ab>o,即a与b同号.又a+b+c=0,则a,b均小于0.c=(-a)+(-b)>=2倍根号下ab,可得ab<=4分之c平方,带入abc=8的8>=4分之c的三次方.故c≥32的立方根.

Answer 2

因为a+b+c=0，所以a、b、c中既有正数又有负数，而根据abc=8>0，可以得知有两个负数和一个正数。因为c>0，因此a<0，b<0
把c看成一个已知确切值的数
a+b= -c
-a-b=c
又因为 -a-b>=2根号(ab)
所以 2根号(ab)<=c
根号(ab)<=c/2
ab<=c^2/4
abc<=c^3/4
而abc=8
因此c^3/4>=abc=8
c^3/4>=8
c^3>=32
c≥32的立方根

Answer 3

首先消一个非c的元 比如说a=-b-c 然后代入有(-b-c)bc=-b^2c-bc^2=8 由于c为正实数 很容易看出b为负实数（反证法） 然后有b^2c+bc^2=-8 即bc(b+c)=-8 为了统一性 令m=-b>0 则有mc(c-m)=8 然后有c(c-m)=8/m 不妨令这个存在的比值设为k 则m=8/k=c-k/c 即关于k c的式子为k^2/c-ck+8=0的方程 这个方程的k有解 故判别式为c^2-4*8*1/c>=0 从而c^3>=32 证明完毕！！！

Answer 4

a+b+c=0 a=-b-c
abc=-bc(b+c)=8 bc^2+b^2c+8=0
因为b不能等于0，所以以c为未知数的一元二次方程的判别式大于或等于零
b^4-4*8b≥0 b^3≥32 即c≥32的立方根

Answer 5

证明：∵c>0，a+b+c=0,abc=8，∴ab>0,a+b<0,∴(-a)(-b)>0,由(-a)(-b)≤[（-a-b）/2]²=(c/2)²
∵ab=8/c∴8/c≤(c/2)²
∴c³≥32，∴c≥32的立方根