Question

一道高中数学题。函数的。

已知函数f(x)=x/(x的平方+1)。
方程f(x)-(x+1)/x=0是否有根？如果有根x，请求出一个长度为1/4的区间（a,b），使x属于（a,b），如果没有，说明理由。（注：区间（a,b）的长度=b-a)

Answer 1

有根
x/(x²+1)-(x+1)/x=0
[x²-(x+1)(x²+1)]/[x(x²+1)]=0
x²-(x+1)(x²+1)=0
x³+x+1=0
设g(x)=x³+x+1
g′(x)=3x²+1恒大于0
g(x)单调递增
g(x)范围（－∞，1）∪（1，＋∞）
g(x)=0在它的取值范围内，所以f(x)-(x+1)/x=0有解
区间（a,b)不唯一，自己凑一下就行了
只要满足g(a)*g(b)<0且b-a=1/4就行了

Answer 2

依题意有x/(xx+1)-(x+1)/x=0,xx-xxx-xx-x-1=0,xxx+x+1=0。令y=xxx+x+1,当x=-1时，y=-1；当x=0时，y=1；当x=-1/2时，y=3/8；当x=-3/4时，y=-27/64-48/64+1=-11/64，-1/2-(-3/4)=1/4，故-3/4＜x＜-1/2，即x∈（-3/4,-1/2)。