Question

求一个线性代数题

Answer 1

由已知, 得 A(1,0,-1)^T = -(1,0,-1)^T, A(1,0,1)^T = (1,0,1)^T
故 -1, 1 是A的特征值. a1 = (1,0,-1)^T , a2 = (1,0,1)^T 是分别属于特征值-1和1的特征向量.
由A是3阶矩阵, 且 r(A) = 2, 所以0是A的特征值.
设 a3=(x1,x2,x3)^T 是A的属于特征值0的特征向量.
由A是实对称矩阵, 故a与属于特征值 1和-1的特征向量正交, 即有
x1 - x3 = 0
x1 + x3 = 0
解得方程组的基础解系: a3 = (0,1,0)^T.
则a1,a2,a3两两正交, 只需把它们单位化, a1,a2 需除以它们的长度根号2 得 b1,b2. b3=a3
令P=(b1,b2,b3), 则有 P^(-1) A P = diag{-1,1,0}
所以有 A = P diag{-1,1,0}P^(-1)
具体计算你应该会 我就不做了

Answer 2

用到一个关键的结论。
实对称阵不同特征值对应的特征相量必正交
详见参考资料

Answer 3

这个题貌似一道考研题目，
我简单说一下过程吧，你自己计算。从题目中的式子看，A乘以矩阵后得到的矩阵第一列与原来那一列相差一个负号，第二列不变，所以-1,1都是A的特征值。A的秩为2，所以另一个特征值为0，这样A的三个特征值就求出来了。然后进一步求特征向量。