求教个线性代数题
已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A^2x线性无关,且满足A^3x=3Ax-2A^2x,(1)记P=(x,Ax,A^2x),求三阶矩阵B,使A=PBP^-1...
已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A^2x线性无关,且满足A^3x=3Ax-2A^2x,
(1)记P=(x,Ax,A^2x),求三阶矩阵B,使A=PBP^-1
(2)计算行列式A+E的值
高手教下,写下过程,图片也行,谢了 展开
(1)记P=(x,Ax,A^2x),求三阶矩阵B,使A=PBP^-1
(2)计算行列式A+E的值
高手教下,写下过程,图片也行,谢了 展开
展开全部
A=PBP^-1等式两边同时右乘一个P
得AP=PB
因为P=(x,Ax,A^2x),所以AP=(Ax,A^2x,A^3x)
我们发现,右边P最高的是A^2。上面的式子里面出现了A^3x,不过正好可以用题目条件A^3x=3Ax-2A^2x代换。所以
AP= A(x,Ax,A^2x)= (Ax,A^2x,A^3x)= (Ax,A^2x,3Ax-A^2x)= (x,Ax,A^2x)B=PB
而(Ax,A^2x,3Ax-A^2x)显然可以写成
0 0 0
(x,Ax,A^2x)1 0 3 也就是相当于P乘以一个矩阵,而这个矩阵就是B
0 1 -2
所以B=0 0 0
1 0 3
0 1 -2
第二问。
B已经知道了,那么B的特征值肯定求得出来。是0,1,-3
那么A和B是相似的,所以A的特征值也是0,1,-3
所以A+E的特征值是1,2,-2
那么|A+E|=1x2x(-2)=-4
----------------------------
不明白请补充,明白请采纳~~谢谢~·
得AP=PB
因为P=(x,Ax,A^2x),所以AP=(Ax,A^2x,A^3x)
我们发现,右边P最高的是A^2。上面的式子里面出现了A^3x,不过正好可以用题目条件A^3x=3Ax-2A^2x代换。所以
AP= A(x,Ax,A^2x)= (Ax,A^2x,A^3x)= (Ax,A^2x,3Ax-A^2x)= (x,Ax,A^2x)B=PB
而(Ax,A^2x,3Ax-A^2x)显然可以写成
0 0 0
(x,Ax,A^2x)1 0 3 也就是相当于P乘以一个矩阵,而这个矩阵就是B
0 1 -2
所以B=0 0 0
1 0 3
0 1 -2
第二问。
B已经知道了,那么B的特征值肯定求得出来。是0,1,-3
那么A和B是相似的,所以A的特征值也是0,1,-3
所以A+E的特征值是1,2,-2
那么|A+E|=1x2x(-2)=-4
----------------------------
不明白请补充,明白请采纳~~谢谢~·
上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
2024-10-28 广告
上海华然企业咨询有限公司专注于AI与数据合规咨询服务。我们的核心团队来自头部互联网企业、红圈律所和专业安全服务机构。凭借深刻的AI产品理解、上百个AI产品的合规咨询和算法备案经验,为客户提供专业的算法备案、AI安全评估、数据出境等合规服务,...
点击进入详情页
本回答由上海华然企业咨询提供
展开全部
要解这个题首先得善于利用已知条件,由于题目第一问给出A=PBP^-1,所以可知P可逆,且PA=PB,
0 0 3
即(X,AX,A^2X)A=(AX,A^2X,A^3X)=(AX,A^2X,3AX-2A^2X)=(X,AX,A^2X)﹛1 0 0﹜=PB,所以
0 1 -2
0 0 3
[ 1 0 0 ]=B(这一步用到A^3x=3Ax-2A^2x条件和矩阵乘法知识),下面解第二问,因为
0 1 -2
A^3x=3Ax-2A^2x,经过恒等变形(注意矩阵乘法运算规则),可得三个等式A(A^2x+2Ax-3x)=0,
(A+3E)(A^2x-Ax)=0,(A-E)(A^2x+3Ax)=0,把上面三个式子看做矩阵方程,由于向量组x,Ax,A^2x线性无
关所以A^2x+2Ax-3x≠0,A^2x-Ax≠0,A^2x+3Ax≠0,(用到向量线性无关的概念),即上面三个矩
阵方程都有非零解,由于齐次方程有非零解可知|A|=0,|A+3E|=0,|A-E|=0,根据特征向量和特征值
的相关知识可得A的特征值为0,1,-3,所以A+E的特征值为1,2,-2,|A+E|=1×2×(-2)=-4,
0 0 3
即(X,AX,A^2X)A=(AX,A^2X,A^3X)=(AX,A^2X,3AX-2A^2X)=(X,AX,A^2X)﹛1 0 0﹜=PB,所以
0 1 -2
0 0 3
[ 1 0 0 ]=B(这一步用到A^3x=3Ax-2A^2x条件和矩阵乘法知识),下面解第二问,因为
0 1 -2
A^3x=3Ax-2A^2x,经过恒等变形(注意矩阵乘法运算规则),可得三个等式A(A^2x+2Ax-3x)=0,
(A+3E)(A^2x-Ax)=0,(A-E)(A^2x+3Ax)=0,把上面三个式子看做矩阵方程,由于向量组x,Ax,A^2x线性无
关所以A^2x+2Ax-3x≠0,A^2x-Ax≠0,A^2x+3Ax≠0,(用到向量线性无关的概念),即上面三个矩
阵方程都有非零解,由于齐次方程有非零解可知|A|=0,|A+3E|=0,|A-E|=0,根据特征向量和特征值
的相关知识可得A的特征值为0,1,-3,所以A+E的特征值为1,2,-2,|A+E|=1×2×(-2)=-4,
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询