Question

～高二数学题求解（两道）～～

1.某河有抛物线形拱桥，当水面距离拱顶5m时，水面宽8m，一搜木船宽4m，高2m，载货后船露在水面上的部分高为0.75m.问：水面上涨到距离抛物线拱顶多少米时，木船开始不能通航？

2.已知抛物线y=2px（p>0）上有两动点A,B及一个定点M（a,b）,F是抛物线焦点，且AF，MF，BF的长成等差数列.（1）求证：线段AB的垂直平分线过定点Q（a+p,0）；（2）若MF=4, OQ=6（O为原点），求抛物线方程.

实在做不出来，望君台帮忙！！多谢！！！！

Answer 1

1、假设y=-ax^2，由于-5=-a*4^2，所以a=5/16，船宽4m，所以船顶离拱顶至少要a*2^2即5/4=1.25米，所以水涨到离拱顶1.25+0.75=2米时，木船不能通航。
2、准线为x=-p/2
假设A（2pcc,2pc），B（2pdd,2pd），
则AF=2pcc+0.5p，MF=a+0.5p，BF=2pdd+0.5p，它们成等差数列，可知2pcc+2pdd+p=2a+p，推出c^2+d^2=a/p。
AQ^2=(2pcc-a-p)^2+(2pc)^2
BQ^2=(2pdd-a-p)^2+(2pd)^2=(2a-2pcc-a-p)^2+4pa-4ppcc=(a-p)^2+4ppc^4-4apcc+4ppcc+4pa-4ppcc=(a+p)^2+4ppc^4-4apcc=AQ^2，所以AB垂直平分线过Q。
若MF=a+0.5p=4，a+p=6，则p=4，y=8x^2
其中cc表示c^2。