Question

一道数学题，要步骤

在△ABC中，已知 （a²+b²）*sin(A-B)=(a²-b²）sin(A+B),判断△ABC的形状

Answer 1

直角三角形。
用三角和差公式展开得b2 * tan A =a2 *tan B
由三角形内部定理：a/sinA =b/sin B=c/sin C 化简得b*cosB=A*cosA
由余弦定理得：b*（a2+b2-c2）/2c=a* （b2+c2-a2）/2a
得a2+b2=c2

这种题基本就是两种答案，直角或等边，要是考试，实在解不出来了，就分别试试。。把60度和90度带进去一样

Answer 2

sin(A+B)=sinC，
sin(A-B) / sinC = (sinA cosB - cosA sinB) / sinC
= a/c * cosB - b/c * cosA （由正弦定理，sinA / sinC = a/c, sinB / sinC = b/c）
= a/c * (a2 + c2 - b2)/2ac - b/c * (b2+c2-a2)/2bc （余弦定理将cosB和cosA化成边的比）
= (a2-b2)/c2
所以，原式可化为(a2-b2)/(a2+b2)=(a2-b2)/c2，于是a=b或a2+b2=c2，即△ABC为以C为顶的等腰三角形，或以C为直角的Rt△