Question

请教高数求极限问题，满意加分！！！lim(x→∞)〖(√(1+tan⁡x )-√(1+sin⁡x ))/(x√(1+〖(sin

能不能用等价无穷小替换啊？加减什么时候能用等价无穷小替换啊？等待高手！！
maclaurin公式貌似更加复杂了！！有没有简单点的啊！等价无穷小替换加减项到底什么时候能替换啊！！
补充一下：不好意思，那个n应该改成X趋向于0

Answer 1

也可以这样做：
分子上有理化
分母上用等价无穷小代换：(1+x)^α-1~αx,则√[1+(sinx)²]-1 ~ 1/2·(sinx)²
题目中，应该x→0吧,否则等价无穷小不好用
原式=lim [√(1+tanx)-√(1+sinx)]·[√(1+tanx)+√(1+sinx)]／[x·1/2·(sinx)²·√(1+tanx)+√(1+sinx)]
x→0
=lim (tanx-sinx)/[x·1/2·x²·(1+1)]
x→0
=lim sinx·(1-cosx)/x³·cosx
x→0
=lim sinx·1/2·x²/x³·1
x→0
=1/2
用maclaurin公式就是计算复杂，思路上简单；用等价无穷小时要构造，但能简便计算。
基本上，等价无穷小替换加减项是不可以的，只能在乘（除）号相乘的项中整体替换。
PS：希望我的解答对你有所帮助！

Answer 2

采用以下的近似的精度，经过一系列的运算可以得到。这里的o（）是小o
tanx=x+x^3/3+o(x^3)
sinx=x-x^3/6++o(x^3)
sqrt(1+x)=1+x/2-x^2/8+o(x^2)

经过漫长的计算，答案为1/2
还有n-> inf应该改成x->0

Answer 3

不如用maclaurin公式试试