Question

设F1,F2分别为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点,过F2的直线与椭圆C相交于AB两点

设F1,F2分别为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线L与椭圆C相交于A、B两点，直线L的倾斜角为60°，F1到直线L的距离为2根号3.
求
1.椭圆C的焦距
2.如果|AF2|=2|F2B|，求椭圆C的方程。

Answer 1

2c=2√3/sin60=4
所以c=2
AF2=x
AF1=2a-x，
余弦定理
x²+16-2×4×x×cos120=(2a-x)²
x²+16+4x=4a²-4ax+x²
(4a+4)x=4a²-16
x=(a²-4)/(a+1)
|AF2|=(a²-4)/(a+1)
同理设BF2=t，那么BF1=2a-t
余弦定理
t²+16-2×t×4×cos60=(2a-t)²
t²+16-4t=4a²-4at+t²
(4a-4)t=4a²-16
t=(a²-4)/(a-1)
|BF2|=(a²-4)/(a-1)
题目有误，应该是BF2=2F2A
2(a²-4)/(a+1)=(a²-4)/(a-1)
a+1=2(a-1)
a=3
b²=a²-c²=5
方程：x²/9+y²/5=1
这题刚做过，应该是这个答案，可以交流

Answer 2

(1)F1(-c,0),F2(c,0)
直线l的方程：y=√3(x-c)
F1到直线l的距离为2√3
2√3=|√3(-c-c)-0|/√(3+1)=|√3c|，c=2
椭圆C的焦距为4
(2)设出A(x1,y1),B(x2,y2),F2(c,0),
因为AF2=2F2B,即(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2), 即y1=-2y2
x^2/a^2+y^2/b^2=1与y=√3(x-c)联立，
得到(1/3b^2+a^2)y^2+(2b^2c/√3)y-b^4=0
y1+y2=-(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)=-y2,
y2=(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)
y1*y2=-b^4/(1/3b^2+a^2)=-2*y2^2,
2*y2^2= b^4/(1/3b^2+a^2)
将y2代入上式，得到
b^4/(1/3b^2+a^2)=2*(4b^4*c^2/3)/ (1/3b^2+a^2)^2
即8c^2=b^2+3a^2, 即8c^2=a^2-c^2+3a^2,
c=2,所以a=3，b^2=5
椭圆C的方程：x^2/9+y^2/5=1

Answer 3

2c=2√3/sin60=4
所以c=2
AF2=x
AF1=2a-x，
余弦定理
x²+16-2×4×x×cos120=(2a-x)²
x²+16+4x=4a²-4ax+x²
(4a+4)x=4a²-16
x=(a²-4)/(a+1)
|AF2|=(a²-4)/(a+1)
同理设BF2=t，那么BF1=2a-t
余弦定理

Answer 4

还可根据y1+y2、y1*y2（韦达）及y1=-y2列式子

Answer 5

用准线