Question

一道高二数学题

已知函数f(x)=1/3*x^3-a/2*x^2,g(x)=1/2*x^2-ax+(a^2)/2.若函数f(x)与g(x)的图像有三个不同的交点，求实数a的取值范围。
这个，这个你是不是答错题了？
2楼的，我知道是这样做，可算出来是空集，所以我很怀疑。希望你能将答案写一下，谢谢
3楼的，我算过了，可当a<1时，h(1)=-（a^2）/2+a/2-1/6>0无解的

Answer 1

由f(x)=g(x)得:⅓x³-(a+1)/2*x²+ax-a²/2=0
记h(x)=⅓x³-(a+1)/2*x²+ax-a²/2
求导得:h'(x)=x²-(a+1)x+a
然后求它的极值.只需要极大值>0且极小值<0.

...我算出了是a<0诶.要分类讨论的..
当a>1时无解..

怎么会呢?当a<1时,h(1)=-（a^2）/2+a/2-1/6=-(3a²-3a+1)/6<0恒成立啊...

Answer 2

设过(2,-1)点的直线为
Y+1=K(X-2) 则有 Y=KX-2K-1
与2X^2-Y^2=2的交点P,Q
2X^2-(KX-2K-1)^2=2 ==>2X^2-((KX)^2+(2K)^2+1-4K^2*X-2KX+4K)=2
==> (2-K^2)X^2+(4K^2+2K)X-4K^2-1-4K-2=0
根据韦达定理,P,Q的X坐标,X1+X2=-(4K^2+2K)/(2-K^2) =-K(4K+4)/(2-K^2)+2K/(2-K^2)(1)
又有 X=(Y-1)/K +2
有2((Y-1)/K+2)^2-Y^2=2
2((Y^2-2Y+1)/(K^2)+4(Y-1)/K+4)-Y^2=2
(2/K^2-1)Y^2-(4/K^2+4/K)Y+2/K^2-4/K-2=0
根据韦达定理,P,Q的Y坐标,Y1+Y2=(4/K^2+4/K)/(2/K^2-1)=(4+4K)/(2-K^2) (2)
P,Q中点坐标为((X1+X2)/2,(Y1+Y2)/2)

根据(1),(2)消掉K
就求出,((X1+X2)/2,(Y1+Y2)/2)之间的关系了
就是轨迹方程

Answer 3

结果是a<0
按照2楼的做法。h'(x)=(x-a)(x-1) 此时需要考虑a与1的大小。
（1）a>1,则h（1）=-(a^2)/2+a/2-1/6>0而该式是完全小于0的，所以a不可能大于1
（2）a<1,则此时h(a)=(a^3)/3-(a^3)/2>0则a<0.