Question

求函数值域

f(x)=1/2 e^x(sinx+cosx)在区间【0,π/2】的值域？

Answer 1

f(x)=0.5*e^x(sinx+cosx)

对x求导，得

f'(x)=0.5*[e^x(sinx+cosx)+e^x(cosx-sinx)]

=0.5*e^x(2cosx)

在区间[0,π/2]上，cosx＞0，e^x＞0

∴f'(x)＞0

∴在此区间上函数递增，

∴x=0时，函数取得最小值，最小值是f(0)=0.5

x=π/2时，函数取得最大值，最大值是f(π/2)=0.5*e^(π/2)*1=0.5*e^(π/2)

即函数f(x)在区间[0,π/2]上的值域是[0.5，0.5*e^(π/2)]

Answer 2

解:f（x）=1/2 e^x (sinx+cosx)
f'(x)=1/2 e^x (sinx+cosx)+1/2 e^x (cosx-sinx)
=e^xcosx>0
所以f(x)在[0,πI/2]为单调增
所以当x=0时f(x)最小:1/2
当x=PAI/2时,f(x)最大:(1/2)e^(π/2)

Answer 3

f(x)=0.5*e^x(sinx+cosx)

对x求导，得

f'(x)=0.5*[e^x(sinx+cosx)+e^x(cosx-sinx)]

=0.5*e^x(2cosx)

在区间[0,π/2]上，cosx＞0，e^x＞0

∴f'(x)＞0

∴在此区间上函数递增，

∴x=0时，函数取得最小值，最小值是f(0)=0.5

即函数f(x)在区间[0,π/2]上的值域是[0.5，0.5*e^(π/2)] !