Question

数学压轴题。第2、3小题请详解！谢谢！

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点P、Q都是斜边上AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ。点D,E分别是A,B以Q,P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H。当点E到达点A时，P,Q同时停止运动。设BP的长为x，△HDE的面积为y。
（1）求证：△DHQ∽△ABC;
（2）求y关于x的函数解析式，并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

Answer 1

（2）∵BC=6 AC=8 ∴AB=10
∵点D,E分别是A,B以Q,P为对称中心的对称点
∴PE=BP AQ=DQ
∵BP=AQ ∴BP+PE+AQ+DQ=4x
∴DE=10-x
∵△AQH∽△ACB
∴QH/BC=AQ/AC
QH/6=x/8 QH=3/4x
∵S△HDE=y=DE*QH/2
∴y=(10-4x）*（3/4x）/2=-3/2x²+15/6x（0＜x＜5/2）
最大值为4ac-b²/4ac，在这里我就不算了
（3）△HDE为等腰三角形，则DE=DH=10-4x
∵△DHQ∽△ABC
∴DH/AB=DQ/AC
10-4x/10=x/8
x=40/21
还有另外两种可能，自己研究一下吧，我再看就脑袋大了