Question

数学啦，帮帮忙！

在全国顶防某种传染病时期，某厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务，要求在8天之内（含8天）生产A型和B型两种型号的口罩不少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产A型口罩每天能生产0.6万只，若生产B型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只A型口罩可获利0.5元，生产一只B型口罩可获利0.3元。设该厂在这次任务中生产了A型口罩x万只。
（1）该厂生产A型口罩可获利润______万元，生产B型口罩可获利润______万元；
（2）设该厂这次生产口罩的总利润是y万元，试写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。
（3）如果你是该厂厂长：①在完成任务的前提下，你如何安排生产A型和B型口罩的只数，使获得的总利润最大？最大的利润是多少？②若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产A型和B型口罩的只数？最短时间是多少？

Answer 1

(1)因为A型口罩每只获利0.5，所以生产A型口罩可获利 0.5x。

因为一共生产5万只，所以B型数量是（5-x）。单只B型口罩获利0.3，所以生产B型口罩获利 0.3（5-x）

(2) 第一题中2式相加就是总利润，即y=0.5+0.3(5-x)

题干要求A不得少于1.8万，所以1.8≤A。又即使8天全部只生产A，也只能生产0.6*8=4.8。所以 A≤4.8 。

(3)第1问。用第（2）题中的公式：y=0.5+0.3(5-x) 且1.8≤x≤4.8。所以 0.56≤y≤1.46

第2问。设需要的总的时间为T，T=x/0.6+(5-x)/0.8 =5x/12+6.25且1.8≤x≤4.8。

所以x=1.8时，T取最少值，也就是时间最少。此时生产A为1.8万只，B3.2万只（即5-1.8）
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