Question

设f (x)=x^2-2x-3,x∈[0,b]的值域

Answer 1

f(x)=(x-1)^2-4;
所以对称轴为x=1;
当0<b<=1时；f(x)在[0,b]上单减，最小值为f(b)=b^2-2b-3; 最大值为f(0)= -3; 所以值域为[b^2-2b-3, -3].
当b>1时；f(x)在[0,b]上有最小值为f(1)= -4; 最大值为f(0)= -3 或 f(b)=b^2-2b-3;
故当f(0)= -3>b^2-2b-3=f(b);即
b^2-2b=b(b-2)<0;
0<b<2，又因为假设b>1,所以当1<b<2时最大值为f(0)= -3,值域为[-4,-3];
当f(0)= -3<=b^2-2b-3=f(b);即
b^2-2b=b(b-2)>=0;
b>2(舍去b<0，因为假设b>1)时，最大值为f(b)=b^2-2b-3,值域为[-4,b^2-2b-3];

综上得到
当0<b<=1时，值域为[b^2-2b-3, -3].
当1<b<2时,值域为[-4,-3];
当b>2时，值域为[-4,b^2-2b-3]。