Question

已知椭圆C1:X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，其中F2也是抛物线C2：y^2=4X的焦点，

M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=5/3
求：（1）：椭圆C1的方程
（2）：已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，顶点B，D在直线7X-7y+1=0上，求直线AC的方程。

Answer 1

1、a^2-b^2=1，x+1=5/3，x=2/3，y^2=8/3，4/9a^2+8/3b^2=1=4/9a^2+8/3(a^2-1)
化解得：9a^4-37a^2+4=0，(9a^2-1)(a^2-4)=0，a=2（舍去a=1/3），椭圆方程为：
X^2/4+y^2/3=1
2、7X-7y+1=0，y=x+1/7，AC垂直BD，故AC的斜率k=-1，设AC的方程为：y=-x+n，代入椭圆方程得：7x^2-8nx+4n^2-12=0，设两根为x1，x2则，x1+x2=8n/7，y1+y2=-8n/7+2n=6n/7
则AC的中点（（x1+x2）/2，（y1+y2）/2）必过直线BD，则有：3n/7=4n/7+1/7，n=-1
AC的方程为：y=-x-1