Question

如图一道证明题，求高手赐教

Answer 1

(1+1/2^4)...(1+1/n^4)
取对数
ln(1+1/2^4)...(1+1/n^4)
=ln(1+1/2^4)+ln(1+1/3^4)+...+ln(1+1/n^4)
由于ln(1+x)<x
（x很小时，二者非常接近，所以经常用这个进行近似放缩处理）
所以
ln(1+1/2^4)+ln(1+1/3^4)+...+ln(1+1/n^4)<1/2^4+1/3^4+...+1/n^4
<1/2^2+1/3^2+..+1/n^2
1/n^2<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n
所以1/2^2+1/3^2+..+1/n^2
<1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n=1-1/n<1
所以ln(1+1/2^4)+ln(1+1/3^4)+...+ln(1+1/n^4)<1
所以(1+1/2^4)(1+1/3^4)...(1+1/n^4)<e

Answer 2

用数学归纳法，分别算出n=2，n=3，n=4，n=5（多算几个），应该会有规律。
然后，当n=2（也有可能是3,4,5）是。。。该式。。。成立
假设n=a时。。。该式。。。成立；所以当n=a+1时，证明一下就可以了，
证明出来以后，这题就解决，下结论了。

Answer 3

这几年级的题目？

Answer 4

ln(1+1/n^4)<ln（1+1/n）,设x=1/n,则0<x<=1/2
设f(x)=ln(1+x)-x,两边求导得f‘（x）=1/(1+x)-1<0,所以f(x)在（0,1/2]上为减函数，f（x）<f(0)=0
所以，在（0,1/2]上,ln(1+x)<x
即ln(1+1/n)<1/n,所以n*ln(1+1/n)<1
ln(1+1/2^4)+ln(1+1/3^4)+……+ln(1+1/n^4)<n*ln(1+1/n)<1
e^[ln(1+1/2^4)+ln(1+1/3^4)+……+ln(1+1/n^4]<e^[n*ln(1+1/n)]<e^1=e
即（1+1/2^4）*(1+1/3^4)*……*(1+1/n^4)<e