Question

请问：已知abc都是正数，求证（a+b）（b+c）（a+c） 》=8abc。

Answer 1

abc都是正数
根据基本不等式：
（a+b）≥2根号(ab)
（b+c）≥2根号(bc)
（a+c）≥2根号(ac)
（a+b）（b+c）（a+c） 》=2根号(ab) * 2根号(bc) * 2根号(ac) =8abc

Answer 2

∵a，b，c都是正数
∴a＋b≥2根号ab ＞0；
b＋c≥2根号bc ＞0；
c＋a≥2根号ca ＞0
∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2 根号ab•2根号bc •2根号ca ＝8abc
即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥8abc.

Answer 3

a+b>=2根号ab>0
b+c>=2根号bc>0
c+a>=2根号ca>0
上三式相乘
有
(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc
a=b=c时取等号
因为abc是不全相等的正数
所以(a+b)(b+c)(c+a)>8abc

Answer 4

a+b>= 根号2ab
b+c>=根号2bc
a+c>=根号2ac

Answer 5

连用3次基本不等式

Answer 6

因为a,b,c是正实数，则有
a+b>=2(ab)^(1/2);
b+c>=2(bc)^(1/2);
c+a>=2(ca)^(1/2);
相乘即得结果。