Question

已知a1=1,an=1+1/an-1,n>=2.(1)求证1=<an=<2(2)求证 1/3=<(an+1-an)(an-an-1)=<1/2......

Answer 1

1)根据a1=1,an=1+1/an-1可知：
an>0,(n>=1)
所以an-1>=0
所以an=1+1/an-1>=1
即an>=1,(n>=1)

所以an-1>=1,(n>=2)
所以1/an-1<=1
所以1+1/an-1<=2
即an=<2
上式得证

（2）根据an=1+1/an-1和an+1=1+1/an
把(an+1-an)(an-an-1)中所有的项换成an
得：[1+(1/an)-an][an-1/((an)-1)]
化简：（an^2+an+1)(an^2-an-1)/[an(an-1)].....里面全是an
把an看成自变量，1=<an=<2
研究：（an^2+an+1)(an^2-an-1)/[an(an-1)]的单调性
可得1/3=<(an+1-an)(an-an-1)=<1/2