Question

已知an=(n+1)²分之一(n=1,2,3,...),记b1=2(1-a),b2=2(1-a)(1-a),...,bn=2(1-a1)(1-a2)...(1-an),则通

则通过计算推测出bn的表达式bn=（？）（用含n的代数式表示）

Answer 1

1-an=1-1/(n+1)^2=n/(n+1)*(n+2)/(n+1)
bn=2*(1/2*3/2)(2/3*4/3)(3/4*5/4)......[(n-1)/n*(n+1)/n][n/(n+1)*(n+2)/(n+1)]
=(n+2)/(n+1)
注:上式中前后两项互为倒数,所以可以约掉.

Answer 2

由an=1/(1+n)^2，bn=2(1-a1)(1-a2)...(1-an),两式
可以推得：b1=3/4，b2=4/6，b3=5/8，b4=6/10
。。。。 可以推算bn=（n+2）/[2（n+1）]
证明：前面略
当k=n时，bn=2(1-a1)(1-a2)...(1-an)=（n+2）/[2（n+1）]
当k=n+1时，bn+1=2(1-a1)(1-a2)...(1-an)*（1-an+1）
=（n+2）/[2（n+1）]*[1-1/（n+2）^2]
=[(n+2)^2-1]/(2n+2)(n+2)
=(n+2-1)(n+2+1)/(2n+2)(n+2)
=(n+1)(n+3)/(2n+2)(n+2)
=（n+3）/2(n+2)
也就是当k=n+1时，bn+1=（n+3）/2(n+2)成立
所以原猜想成立
所以bn=（n+2）/[2（n+1）]