Question

证明：已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a、b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）,则a+b≥0

Answer 1

用反证法：
假设a+b<0，
那么有a<-b, b<-a
由增函数的性质：
f(a)-f(-b)<0
f(b)-f(-a)<0
即：f(a)-f(-a)+f(b)-f(-b)<0，与题设矛盾
那么：若f(a)+f(b)>=f(-a)+f(-b),则a+b>=0

Answer 2

反证法：若f(a)+f(b)>=f(-a)+f(-b)，假设有a+b<0,那么a<-b,b<-b，f(x)为增函数则有：f(a)<f(-b),f(b)<f(-a)两不等式相加有f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),但与题设f(a)+f(b)>=f(-a)+f(-b)相矛盾，因此a+b<0这一假设不成立，从而有当f(a)+f(b)>=f(-a)+f(-b),有a+b>=0,命题得证。