Question

如图，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的角平分线交与点E.求证：∠E=½∠A

Answer 1

D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的角平分线交与点E.求证：∠E=½∠A
解：因为三角形的外角性质
所以∠ACD=∠ABC+∠BAC,
∠ECD=∠EBC+∠BEC;
因为角平分线定理
所以∠ABE=∠EBC
∠ABC=∠ABE+∠EBC=2∠EBC;
∠ACE=∠ECD
∠ACD=∠ACE+∠ECD=2∠ECD;
所以代人最上面的公式：
∠ACD=∠ABC+∠BAC,
∠ECD=∠EBC+∠BEC
即2∠ECD=2∠EBC+∠BAC
再代入2（∠EBC+∠BEC）=2∠EBC+∠BAC
2∠EBC+2∠BEC=2∠EBC+∠BAC
所以2∠BEC=∠BAC即2∠E=∠A，得出：∠E=½∠A

Answer 2

证明：设∠ACE=∠2，∠ABE=∠1
从而∠ECD=∠ACE=∠2，∠EBC=∠ABE=∠1
根据三角形外角性质，有∠ACE=∠A+∠ABC=∠A+2∠1
2∠2=∠A+2∠1
∴∠A=2∠2-2∠1 ①
根据三角形外角性质，有∠ECD=∠E+∠EBC=∠E+∠1
∴∠2=∠E+∠1 ②
由①②得 ∠A=2∠2-2∠1=2(∠E+∠1 )-2∠1=2∠E
∴∠E=½∠A