Question

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线

在三角形ABC中，∠ABC=90，AB=4，BC=3.O是边AC上的一个动点，以O为圆心作半圆，与边AB相切于点D ，交线段OC于点E.作EP⊥ED，交射线AB于点P，叫射线CB于点F.
(3)当BF=1时，求线段AP的长.

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵AP切半圆于D，∠ODA=∠PED=90°，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ADE=∠ODE+∠ODA，
∠AEP=∠OED+∠PED，
∴∠ADE=∠AEP，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEP；
（2）解：∵△AOD∽△ACB，
∴0A CA =OD CB =AD AB ，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∴OD=3 5 OA，AD=4 5 OA，
∵△ADE∽△AEP，
∴AE AP =AD AE =DE EP ，
∵AP=y，OA=x，AE=OE+OA=OD+OA=8 5 OA，
∴AE AP =AD AE =4 5 OA 8 5 OA =1 2 ，
则y=16 5 x（0＜x≤25 8 ）；

（3）解：情况1：y=16 5 x，BP=4-AP=4-16 5 x，
∵△PBF∽△PED，
∴BF BP =ED EP ，
又∵△ADE∽△AEP，
∴ED EP =AE AP ，
∴BF BP =AE AP ，
∴1 4-16 5 x =8 5 x 16 5 x ，
解得：x=5 8 ，
∴AP=16 5 x=2．
情况2：如图，半圆O的半径R较大时，EP交AB延长线于点P，P在B上方；交BC于点F，F在BC之间：
可以得CF=CE，CE=CF=BC-BF=3-1=2，
过点E作EG⊥BC，
则EG AB =CG BC =CE AC =2 5 ，
解得，EG=8 5 ，CG=6 5 ，
FG=FC-CG=2-6 5 =4 5 ，
PB：EG=FB：FG，
PB=8 5 ÷4 5 =2，
AP=AB+PB=4+2=6．
故线段AP的长为2或6．

Answer 2

角ABC等于90度,ABC(逆时针排列,图就不画了).
BC=√(AB²+BC²)=√(4²+3²)=5,
以点O为圆心作半圆，与边AB相切与点D，交线段OC于点E，作EP垂直ED，交射线AB于点P，交射线BC于点F,

情况1,
半圆O的半径R较小时,EP交AB于点P，P在AB之间;交CB延长线于点F,F在B的左侧:
半圆O与边AB相切与点D,∠ADO=90度,
∠ODE=∠OED,[因为DO=EO=R],
∠ODE+∠EDP=∠OED+∠CEF=90度
所以∠EDP=∠CEF,
直角△PBF∽△PED,(AAA),
所以∠BFP=∠EDP,
故∠BFP=∠CEF,
因此CF=CE,CE=CF=CB+BF=3+1=4,
作EG垂直BC,交BC于G,
直角△EGC∽△ABC,(AAA),
EG:AB=EC:AC,
EG=4*4/5=16/5,
同理,CG=12/5,
FG=FB+BG=FB+BC-CG=1+3-12/5=8/5,
直角△PBF∽△EGF,(AAA),
PB:EG=FB:FG,
PB=(16/5)/(8/5)=2,
AP=AB-PB=4-2=2;

情况2,
半圆O的半径R较大时,EP交AB延长线于点P，P在B下方;交BC于点F,F在BC之间:
与情况1类似过程,
可以得
CF=CE,CE=CF=BC-BF=3-1=2
EG=8/5,
CG=6/5,
FG=FC-CG=2-6/5=4/5,
PB:EG=FB:FG,
PB=(8/5)/(4/5)=2,
AP=AB+PB=4+2=6;