Question

一道数学题，求解，很急，谢谢！（已知a,b为正整数，关于x的方程x^2-2ax+b=0的两个实数根为x1,x2……）

已知a,b为正整数，关于x的方程x^2-2ax+b=0的两个实数根为x1,x2,关于y的方程y^2+2ay+b=0两个实数根为y1,y2,且满足x1y1-x2y2=2008.求b的最小值。（要详细过程）

Answer 1

由题目可知，x1,x2为方程x^2-2ax+b=0的两个实数根，则-x1，-x2为方程y^2+2ay+b=0（自己带进去就明白了），则x1=-y1,x2=-y2(另一种情况，x1=-y2,x2=-y1,则x1y1-x2y2=0与题意不符，所以舍去），把x1=-y1,x2=-y2带入x1y1-x2y2=2008，得(x2)^2-(x1)^2=2008,平方差公式展开，并用韦达定理，可得到x2-x1=1004/a,两边平方，并再次利用韦达定理，可得到b=a^2-(502/a)^2>0,得a^2>502,,后面做不下去了，你看看是不是题抄错了，我只能做到这了

Answer 2

解：
如果x0是方程x^2-2ax+b=0的根,那么x0^2-2ax0+b=0也就是说:(-x0)^2+2a(-x0)+b=0,由此可见,-x0就是方程y^2+2ay+b=0的根
所以有,以上两个方程的根,对应的互为相反数
如果x1=-y2 x2=-y1
有2008=-x1x2+x1x2=0矛盾!
所以x1=-y1 x2=-y2
则有x1+x2=2a x1x2=b x2^2-x1^2=2008
2008=(x2-x1)(x2+x1)=2a(x2-x1)
(x2-x1)^2=4a^2-2b
有4a^2(4a^2-2b)=2008^2
a^2(2a^2-b)=504008=2^3*251^2
所以a=2*251或者251或者2或者1
很显然当a=2或者1的时候,b<0舍去
所以a=502或者251
对应的2a^2-b=2或者8
对应的b=504006或者125994
那么最小的b就是125994

追问

……
2008=(x2-x1)(x2+x1)=2a(x2-x1)
(x2-x1)^2=4a^2-2b
有4a^2(4a^2-2b)=2008^2
a^2(2a^2-b)=504008=2^3*251^2
这几步不太懂啊，为什么2008=(x2-x1)(x2+x1)=2a(x2-x1)
(x2-x1)^2=4a^2-2b
呢？怎么来的？（谢谢，加辛苦了！）

追答

所以x1=-y1 x2=-y2
所以：y1= -x1,y2= -x2
将y1 y2带入x1y1-x2y2=2008式中可得：
x2^2-x1^2=2008
2008=(x2-x1)(x2+x1)=2a(x2-x1)
又因为x1,x2是方程x^2-2ax+b=0的两个实数根
所以:x1+x2=2a x1x2=b
所以： 2008=(x2-x1)(x2+x1)=2a(x2-x1)
(x2-x1)^2
=x2^2+x1^2+2x1*x2-4x1*x2
=(x1+x2)^2-4x1*x2
=4a^2-2b
有4a^2(4a^2-2b)=2008^2
a^2(2a^2-b)=504008=2^3*251^2
所有分析如上，欢迎采纳！

Answer 3

由根与系数的关系知：x1+x2=2a①，x1x2=b；y1+y2=-2a②，y1y2=b。且(x1+x2)²-4x1x2=（x1-x2)²=4a²-4b=4(a²-b)。∴x1-x2=±2√(a²-b)③ 又(y1+y2)²-4y1y2=(y1-y2)²=4(a²-b)，∴y1-y2=±2√(a²-b)④。由①③可解得x1=√（a²-b)-a，x2=√(a²-b)+a或x1=-[√(a²-b)+a]，x2=√(a-²b)-a。同理有y1，y2也有完全相同的解。
∴x1y1-x2y2=[√（a²-b)-a]²-[√(a²-b)+a]²=-4a√(a²-b)=2008.即a√(a²-b)=-502明日再来

Answer 4

从题目看来，这两个二元一次方程，应该是一个，解法如下：
由题意的：两个原方程的根的关系：x1y1--x2y2=2008可化为x1^2--x2^2=2008。
x1^2--x2^2=√（x1-x2）2=√（x1+x2）-4x1x2=√4a2--4b=2√a2--b=2008
√a2-b=1004；a2-b=1004^2；a2=1004^2+b，因为b为正整数，所以b最小为1

Answer 5

b=62997