高二数学圆锥曲线题。
设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点。(1)若向量ED=6*向量DF,求k的值。...
设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点。
(1)若向量ED=6*向量DF,求k的值。
(2)求四边形AEBF面积的最大值。
怎么想都不做不出来。。彻底OTZ了 各位帮帮忙。。
嗯。。,没抄错。2L那个 我试试~ 展开
(1)若向量ED=6*向量DF,求k的值。
(2)求四边形AEBF面积的最大值。
怎么想都不做不出来。。彻底OTZ了 各位帮帮忙。。
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联立y=-(1/2)x+1和y=kx可得D点坐标(2/(2k+1),2k/(2k+1))
设E(X₁kx₁),F(x₂,kx₂) 易知E在第三象限,F在第一象限。
然后由向量或定比分点都可得
x₁+6X₂=7×D点横坐标,.....(*)
联立x²/4+y²/1=1和y=kx得到X₁=-2/√(1+4k²), x₂=2/√(1+4k²), 代入(*)式可得k=2/3或3/8
(2)点E,F到线段AB距离之和d=|x₁+2kx₁-1|/√5+|x₂+2kx₂-1|/√5
由E在AB下方,F在AB上方得x₁+2kx₁-1<0,x₂+2kx₂-1>0
∴d=(2k+1)(x₂-x₁)/√5
∴四边形AEBF面积S=½AB×d=½(2k+1)(x₂-x₁)=2(2k+1)/√(1+4k²),
∴S²=4(4k²+4k+1)/(1+4k²)=4[1+4k/(1+4k²)]
由基本不等式1+4k²≥4k(k>0)得4k/(1+4k²)≤1
∴S²≤4
∴S≤2(当k=½时取得最大值)
设E(X₁kx₁),F(x₂,kx₂) 易知E在第三象限,F在第一象限。
然后由向量或定比分点都可得
x₁+6X₂=7×D点横坐标,.....(*)
联立x²/4+y²/1=1和y=kx得到X₁=-2/√(1+4k²), x₂=2/√(1+4k²), 代入(*)式可得k=2/3或3/8
(2)点E,F到线段AB距离之和d=|x₁+2kx₁-1|/√5+|x₂+2kx₂-1|/√5
由E在AB下方,F在AB上方得x₁+2kx₁-1<0,x₂+2kx₂-1>0
∴d=(2k+1)(x₂-x₁)/√5
∴四边形AEBF面积S=½AB×d=½(2k+1)(x₂-x₁)=2(2k+1)/√(1+4k²),
∴S²=4(4k²+4k+1)/(1+4k²)=4[1+4k/(1+4k²)]
由基本不等式1+4k²≥4k(k>0)得4k/(1+4k²)≤1
∴S²≤4
∴S≤2(当k=½时取得最大值)
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