Question

已知圆上的点A（2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2倍根号2，求圆的方

高一数学题：已知圆上的点A（2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2倍根号2，求圆的方程.

Answer 1

解：根据题意圆心在x+2y=0上
设圆心为（-2a，a）
圆心到直线的距离d=｜-2a-a+1｜/√2=｜1-3a｜/√2
设半径为R，弦长一半为√2
勾股定理
R²=2+(1-3a)²/2
R²=(-2a-2)²+(a-3)²
联立
4a²+8a+4+a²-6a+9=2+1/2-3a+9a²/2
10a²+4a+26=4+1-6a+9a²
a²+10a+21=0
(a+3)(a+7)=0
a=-3,a=-7
圆心为（6，-3）或（14，-7）
R²=(6-2)²+(-3-3)²=52
或
R²=(14-2)²+(-7-3)²=244
所以圆：(x-6)²+(y+3)²=52或(x-14)²+(y+7)²=244

Answer 2

设 圆的方程为 （x-a）²+（y-b）²=r²
因为 圆上的点A（2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上
所以 圆心（a，b）在直线x+2y=0上
（a，b）到直线 x-y+1=0的距离为 |a-b+1|/√2
圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2倍根号2，所以 |a-b+1|/√2=√（r²-2）
所以解得 b=-7 或b=-3
当 b=-7时 a=14 r²=244
当 b=-3时 a=6 r²=52
圆的方程为 （x-6）²+（y+3）²=52或 （x-14）²+（y+7）²=244

Answer 3

设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
因为圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，所以圆心在直线x+2y=0上即a+2b=0
圆心到直线x-y+1=0的距离d=|(a-b+1)/√2|
d^2+(√2)^2=r^2即(a-b+1)^2+4=2r^2
将A点坐标代入圆的方程得(2-a)^2+(3-b)^2=r^2 联立(a-b+1)^2+4=2r^2
得a^2-10a+b^2-10b+2ab+21=0 将a+2b=0代入得b^2+10b+21=0 (b+5)^2=4
b=-7,a=14 r^2=202 或 b=-3 a=6 r^2=34
圆的方程为(x-14)^2+(y+7)^2=244或(x-6)^2+(y+3)^2=52

Answer 4

做几何题目先画图把已知的条件画在图中，首先圆上两点关于直线x+2y=0对称说明圆心就在直线x+2y=0上，然后可以发现点A(2,3)也在直线x-y+1=0上，此直线斜率为1，弦长为2倍根号2，得出x和y的距离差为2，所以点B(0,1)或B(4,5)
第一种情况假设圆心坐标为(x,-x/2),列出方程x^2+(1+x/2)^2=(x-2)^2+(x/2+3)^2，就是A，B两点到圆心距离相等的方程，解出得x=6，所以圆心坐标为(6,-3)，半径为2倍根号13
第二种情况假设圆心坐标为(x,-x/2),列出方程(x-4)^2+(5+x/2)^2=(x-2)^2+(x/2+3)^2，就是A，B两点到圆心距离相等的方程，解出得x=14，所以圆心坐标为(14,-7)，半径为2倍根号61
圆方程为(x-6)^2+(y+3)^2=52 或者(x-14)^2+(x+7)^2=244

Answer 5