Question

高二数学： 1^2=1,2^2=(1+1)^2=1^2+2乘1+1，3^2=(2+1)^2=2^2+2乘2+1，

1^2=1,2^2=(1+1)^2=1^2+2乘1+1，3^2=(2+1)^2=2^2+2乘2+1，

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接上:4^2=(3+1)^2=3^2+2乘3+1,…n^2=(n-1)^2+2(n-1)+1
左右两边分别相加得：n^2=2(1+2+3+…+(n-1)+n,所以：1+2+3+…+n =
n(n-1)/2.类比上述推理方法求写出1+2^2+3^2+…+n^2的表达式的过程。
1^2=1,2^2=(1+1)^2=1^2+2乘1+1，3^2=(2+1)^2=2^2+2乘2+1，

接上:4^2=(3+1)^2=3^2+2乘3+1,…n^2=(n-1)^2+2(n-1)+1
左右两边分别相加得：n^2=2(1+2+3+…+(n-1)+n,所以：1+2+3+…+n =
n(n-1)/2.类比上述推理方法求写出1+2^2+3^2+…+n^2的表达式的过程。

答案：
我们记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，
S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈N*)．
已知
13＝　　　　　　　　　　　　 1，
23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，
33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，
43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，
……
n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.
将左右两边分别相加，得————（这一步为什么？）
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.
由此知S2(n)＝n3＋3n2＋2n－3S1(n)3＝2n3＋3n2＋n6
＝n(n＋1)(2n＋1)6.

Answer 1

这样思考容易些:
先把两数和的立方公式 (n+1)^3 = n^3+3n^2+3n+1
变形为
　(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 +3n +1,
所以 n^3 - (n-1)^3 = 3(n-1)^2 +3(n-1) +1
　　…………
　　　3^3 - 2^3 = 3*(2^2) +3*2 +1
　　　2^3 - 1^3 = 3*(1^2) +3*1 +1

左右两边分别相加，得：
(n+1)^3 -1 = 3(1^2+2^2+3^2+....+n^2) +3(1+2+3+...+n) +n,

由于 1+2+3+...+n = (n+1)n/2, 代入上式得：
n^3+3n^2+3n = 3(1^2+2^2+3^2+....+n^2) +3(n+1)n/2 +n

整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

我的回答如果能使你有所启发，请你笑纳^_^