Question

数列问题 求助

已知点（1，2）是函数f(x)=a的x方（a>0且a不等于1) 的图像上一点，数列{an}的前n项和为Sn=f(n)-1 ①求数列{an}的通项公式 ②若bn=loga(an+1) ---n+1为底数，求数列{anbn}的前n项和Tn

Answer 1

点（1，2）代入函数式得：2=a^1，a=2
f(x)＝2^x
Sn＝2^n -1
(1)n=1时，a1=S1=1
n>1时，
an＝Sn -S(n-1)＝2^n -2^(n-1)＝2^(n-1) （n＝1时也满足）
∴an＝2^(n-1)

(2)bn＝log2(2^n)＝n
anbn＝n·2^(n-1)
Tn＝1×2^0+2×2^1+3×2^2+4×4^3+……n×2^(n-1)
左右同乘2：
2Tn＝1×2^1+2×2^2+3×2^3+4×4^4+……(n-1)×2^(n-1)+n×2^n
上式减去下式，注意右边错位抵消：
-Tn＝1+2^1+2^2+……+2^(n-1) - n×2^n＝2^n -1 -n×2^n＝-(n-1)×2^n -1
∴Tn＝(n-1)×2^n +1