Question

微分方程的特征方程怎么求的?

求一个微分方程的通解有时候要求它的特征方程，怎么求的啊？拜托各位大虾了

Answer 1

例如二阶常系数齐次线性方程的形式为：y''+py'+qy=0其中p，q为常数，其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：

1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)];

2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)];

3、△=p^2-4q<0，特征方程具有共轭复根α+-(i*β),通解为y(x)=[e^(α*x)]*(C1*cosβx+C2*sinβx)。
至于n阶以及非齐次线性方程的情况，高数上都有。

扩展资料：

微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。

物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。

不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

偏微分方程

常微分方程（ODE）是指微分方程的自变量只有一个的方程 [2]  。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。

一般的n阶常微分方程具有形式：

其中  是  的已知函数，并且必含有  。

偏微分方程（PDE）是指微分方程的自变量有两个或以上 [2]  ，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。

有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。

最常见的二阶椭圆方程为调和方程：  。

线性及非线性

常微分方程及偏微分方程都可以分为线性微分方程及非线性微分方程二类。

若  是  的一次有理式，则称方程  为n阶线性方程，否则即为非线性微分方程。

一般的，n阶线性方程具有形式：

其中，  均为x的已知函数。若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。

参考资料：百度百科-微分方程

Answer 2

二阶常系数齐次线性方程的形式为：y''+py'+qy=0其中p，q为常数，其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：
1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)];
2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)];
3、△=p^2-4q<0，特征方程具有共轭复根α+-(i*β),通解为y(x)=[e^(α*x)]*(C1*cosβx+C2*sinβx)。

扩展资料

特征方程是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程、矩阵特征方程、微分方程特征方程、积分方程特征方程等等。

阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

参考资料百度百科-二阶常系数线性微分方程

Answer 3

如何求微分方程特征方程:

如 y''+y'+y=x(t) (1)

1，对齐次方程

y''+y'+y=0 (2)

作拉氏变换，

(s^2+s+1)L(y)=0

特征方程:s^2+s+1=0

2，设齐次方程通解为: y=e^(st)，代入(2)

(s^2+s+1)e^(st) = 0 e^(st)不恒为0，只有:

s^2+s+1 = 0 此即特征方程。

3，解出s的两个根，s1，s2，齐次方程(2)的通解:

y=Ae^(s1t) + Be^(s2t)

再找出非齐方程(1)的一个特解y*(t)，那么(1)的通解

等于:(2)的通解加上(1)的一个特解。

扩展资料：

递推是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和数学方法。

新教材将数列放在高一讲授，并明确给出“递推公式”的概念：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。

有通项公式的数列只是少数，研究递推数列公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。新大纲关于递推数列规定的教学目标是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。

重要的是学会如何去发现数列的递推关系，学会如何将递推关系转化为数列的通项公式的方法。 

参考资料：特征方程_百度百科

Answer 4

Answer 5

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