Question

如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=λAA'，点M，N分别为A'B和

如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，∠BAC=90°，AB=AC=λAA'，点M，N分别为A'B和B'C'的中点．（I）证明：MN∥平面A'ACC'；（II）若二面角A'-MN-C为直二面角，求λ的值． 求第二问的详细步骤。谢谢。

Answer 1

解：（1）连接AB′、AC′，
由已知∠BAC=90°，AB=AC，
三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′中点，
又因为N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′，
又MN?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′ 。
（2）以A为坐标原点，分别以直线AB、AC、AA′为x，y，z轴，建立直角坐标系，如图，
设AA′=1，则AB=AC=1，
于是A（0，0，0），B（λ，0，0），C（0，λ，0），A′（0，0，1），B′（λ，0，1），C′（0，λ，1）
所以M（），N（），
设=（x1，y1，z1）是平面A′MN的法向量，
由，得，
可取，
设=（x2，y2，z2）是平面MNC的法向量，
由，得，
可取，
因为二面角A'-MN-C为直二面角，
所以，
即-3+（-1）×（-1）+λ2=0，
解得λ=。

追问

呃。可以不用向量么？