求解如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90o,AB=AC=a,AA1=b,点E,F分别

tangmei1001
2013-02-02 · TA获得超过9789个赞
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以A为原点,分别以AB、AC、AA1为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(a,0,0),C(0,a,0),A1(0,0,b),E(a,0,b/3),F(0,a,2b/3),
向量AE=(a,0,b/3),向量A1F=(0,a,-b/3),向量EF=(-a,a,b/3),
(1)当λ=b/a=3时,即b=3a,向量AE=(a,0,a),向量A1F=(0,a,-a),
设向量AE与向量A1F的夹角为θ,
则cosθ=(AE·A1F)/(|AE|·|AF|)=-a²/(2a·√2a)=-1/2,∴θ=120°,
∴异面直线AE与A1F所成的角是60°。
(2)设平面AEF的法向量为n=(x,y,1),
∵n⊥AE,n⊥EF,
∴ax+b/3=0且-ax+ay+b/3=0,
解得x=-b/3a=-λ/3,y=-2λ/3,∴n=(-λ/3,-2λ/3,1),
同理可求得平面A1EF的法向量m=(2λ/3,λ/3,1),
∵平面AEF⊥平面A1EF,∴向量n⊥向量m,
∴n·m=-2λ²/9-2λ²/9+1=0,即λ²=9/4,
∴λ=3/2。
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