Question

（2014?浙江模拟）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAA1=∠A1AB=∠BAC=90°，AB=AA1=1，AC=2．（1）求证：A1

（2014?浙江模拟）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAA1=∠A1AB=∠BAC=90°，AB=AA1=1，AC=2．（1）求证：A1B⊥平面AB1C；（2）求直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：∵∠CAA₁=∠BAC=90°，
∴CA⊥AA₁，CA⊥AB，
∵A₁A∩AB=A，
∴CA⊥平面A₁B₁BA，
∵A₁B?平面A₁B₁BA，
∴CA⊥A₁B，
∵四边形A₁B₁BA为正方形，
∴A₁B⊥AB₁，
∵AC∩AB₁=A，
∴A₁B⊥平面AB₁C；
（2）解：连接A₁C，则B₁A₁⊥AA₁，B₁A₁⊥AC，
∵AA₁∩AC=A，
∴B₁A₁⊥平面ACC₁A₁，
∴∠B₁CA₁是直线B₁C与平面ACC₁A₁所成角．
在矩形ACC₁A₁中，AA₁=1，AC=2，∴A₁C=

5

，
∵A₁B₁=AB=1，
∴在Rt△A₁B₁C中，CB₁=

6

，
∴sin∠B₁CA₁=

6

6

．