Question

∫∫（x+2y）dσ,其中D由直线x=0,y=0,x+y=1所围成。求二重积分。

Answer 1

D:y=1-x
原式=
∫ （0到1）dx ∫ （0到(1-x)） x+2y dy =
∫ （0到1） （xy+y²）|（y=0到y=1-x）dx =
∫ （0到1） （x(1-x)+(1-x)²）dx =
∫ （0到1） （-2x²+x+1）dx =
（(-2/3)x³+(1/2)x²+x）|（从x=0到x=1）=
-2/3 + 1/2 + 1 = 5/6
我这里所使用的是先y后x
积分的时候，看D：
如果是先积y再积x
那么上限就是上边的曲线方程y=y2(x)，下限就是下边的曲线方程y=y1(x)
然后定积分∫ f(x,y)dy
得出关于x的函数g(x)
再积x：x的范围，就是在D的x的取值范围，上下限也不用我说了吧？
然后定积分∫ g(x)dx
这就是对D上的二重积分∫ ∫ f(x,y)dxdy的其中一种计算方法；
这种方法还有另外一种方式，就是先积x再积y：
右边的曲线方程x=x2(y)，左边的曲线方程x=x1(y)
然后计算g(y)=∫ （x1(y)到x2(y)）f(x,y) dx
再计算定积分∫ g(y)dy
当然这个上下限，就是D区域的y值的最小值及最大值
对于这道题而言，用第二种方式的话，就是
x2(y)=1-y
x1(y)=0（就是y轴方程）
把区域D画出来（这道题目是三角形），范围显而易见；

用极坐标，推导过程就不说了
利用公式x=rcosθ,y=rsinθ，
代入f(x,y)
原双重积分可化为∫ ∫ f(rcosθ,rsinθ) rdrdθ
注意：后边是rdrdθ，不要漏了个r就写成∫ ∫ f(rcosθ,rsinθ) drdθ
然后极坐标一般习惯先积r得到关于θ的方程g(θ)，
上限r=r2(θ)，下限r=r1(θ)
上限就是离极点（因为习惯在建立极坐标系的时候极点跟原点重合，极轴跟x轴重合）远的那条曲线方程，下限就是离极点近的（原点近的）那条曲线方程。
再积分∫ g(θ)dθ，
上下限的确定就看θ的最值
θ表示的意义：跟x轴正向，绕原点旋转，一定是逆时针为正向，所得到的角度的范围
举个例子：
两个1/4圆O1和O2，半径分别是4和2，都在第一象限，组成的区域D是个四分之一圆环
显然的，积分r的时候，上限就是r=4，下限就是r=2.
旋转：θ的范围就是0到π/2
（或者你要写成-π到-3π/2等等都行，只要你能算对就行，算错，，呵呵，你懂得）
所以上限就是π/2，下限就是0.
极坐标在这题不适合，比较适合的题型是含有x²+y²的D区域的题目。因为一般有出现x²+y²都是加了根号的、用直角坐标算很难算的那种题。
还有一种，就是参数方程。。太晚了，就此打住吧。。