a+b+c=1,证a²+b²+c²≥1/3
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2014-05-13 · 知道合伙人游戏行家
xuchaoLOVElidandan
知道合伙人游戏行家
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毕业于山东科技大学，本科学位，09年从业经验，擅长电气专业与中国象棋游戏，曾获得中国象棋一级棋手！
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证明:
由
可得:
a²+b²≧2ab.
b²+c²≧2bc.
c²+a²≧2ca.
上面的三个等号仅当a=b=c=1/3时取得,
三式相加,整理可得:
2(a²+b²+c²)≧2ab+2bc+2ca
∴两边同加a²+b²+c²,可得:
3(a²+b²+c²)≧a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca.
∵a+b+c=1.
∴两边平方可得:
1=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca.
∴3(a²+b²+c²)≧1.
∴a²+b²+c²≧1/3.
由
可得:
a²+b²≧2ab.
b²+c²≧2bc.
c²+a²≧2ca.
上面的三个等号仅当a=b=c=1/3时取得,
三式相加,整理可得:
2(a²+b²+c²)≧2ab+2bc+2ca
∴两边同加a²+b²+c²,可得:
3(a²+b²+c²)≧a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca.
∵a+b+c=1.
∴两边平方可得:
1=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca.
∴3(a²+b²+c²)≧1.
∴a²+b²+c²≧1/3.
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