y=arctanx,当x=0时，y的n 阶导数为多少？
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y'=1/(1+x^2)
=1-x^2+(x^2)^2-(x^2)^3+...+(-1)^n(x^2)^n+... （相当于等比数列求和。由于这里要求x=0处的导数，所以可以让x足够接近0，从而使这个式子的部分和的极限等于上面那个式子）
=1-x^2+x^4-x^6+...+(-1)^n*x^(2n)+...
所以y=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)+...
这个就是arctanx在x=0处的泰勒展开式
可见，y^(2k)(0)=0
y^(2k+1)(0)/(2k+1)!=(-1)^k/(2k+1)
y^(2k+1)(0)=(-1)^k*(2k)!
=1-x^2+(x^2)^2-(x^2)^3+...+(-1)^n(x^2)^n+... （相当于等比数列求和。由于这里要求x=0处的导数，所以可以让x足够接近0，从而使这个式子的部分和的极限等于上面那个式子）
=1-x^2+x^4-x^6+...+(-1)^n*x^(2n)+...
所以y=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...+(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)+...
这个就是arctanx在x=0处的泰勒展开式
可见，y^(2k)(0)=0
y^(2k+1)(0)/(2k+1)!=(-1)^k/(2k+1)
y^(2k+1)(0)=(-1)^k*(2k)!
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追问
可我们还没有学泰勒公式。
追答
y'=1/(1+x^2)
(1+x^2)y'=1
两边求n阶导数：
(1+x^2)y^(n+1)+n*2x*y^(n)+n(n-1)/2*2*y^(n-1)=0
令x=0：y^(n+1)(0)+n(n-1)y^(n-1)(0)=0
y^(n+1)(0)=-n(n-1)y^(n-1)(0)
初始条件是y'(0)=1,y''(0)=0
就可以求出y^(n)(0)的通式了。
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Sievers分析仪
2024-10-13 广告
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