Question

已知三角形ABC中，顶点A（2，1），B(-1,-1),其中一个内角的平分线所在直线L:x+2y-1=0,求顶点C的坐标？

Answer 1

因为A（2，1），B(-1,-1),都不在直线L上，而且 直线L又是内角平分线，所以C点在直线L上。设B关于直线L的对称点为D，得出直线L平分BD，直线L又是内角平分线，所以D点在直线AC上。设D(X1,Y1),DB垂直直线L，所以它们的斜率相乘为-1，即(Y1+1)/(X1+1)*(-1/2)=-1.化简得2X1-Y1-1=0 (*)又因为BD的中点( （X1-1)/2,（Y1-1)/2)在直线L上，所以将坐标代入直线L方程得：（X1-1)/2+2*（Y1-1)/2-1=0，化简得，X1+2*Y1-5=0 （**），由式子（*）（**）联立得X1=7/5,Y1=9/5.所以直线AD的斜率为（1-9/5）/(2-7/5)=-4/3.所以直线AD的方程为-4/3(X-2)=Y-1,化简为4X+3Y-11=0因为点C在直线L与直线AD上，即为两直线的交点，所以联立两直线方程得出C点坐标为（19/5,-7/5)

Answer 2

显然顶点A（2，1），B(-1,-1)不满足x+2y-1=0,所以C(a,b)满足a+2b-1=0...(1),直线AB:2X-3Y-1=0,与x+2y-1=0的交点D(5/7,1/7),AD�0�5=117/49,DB�0�5=208/49,AC�0�5=(a-2)�0�5+(b-1)�0�5,BC�0�5=(a+1)�0�5+(b+1)�0�5,AD/BD=AC/BC,[(a-2)�0�5+(b-1)�0�5]/[(a+1)�0�5+(b+1)�0�5]=9/16...(2),解(1),(2)得a1=31/5,b1=-13/5;a2=5/7,b2=1/7(舍去),∴C(31/5,-13/5).

Answer 3

解：作B关于直线X+2Y-1=0的对称点D（X，Y）
B到直线X+2Y-1=0的距离为五分之四倍根号五
则易得D满足方程Y+1=2（X+1）和|X+2Y-1|/根号五=五分之四倍根号五
解得X=3/5 Y=7/5
C,D,A点共线
可求得直线DA的方程为2X+7Y-11=0
联立直线DA的方程和角C的平分线方程可解得C的坐标为（-5，3）