Question

考研数学三：线性代数 为什么r(A)=n时，Aa1,…,Aas线性无关？怎么理解？谢谢！

Answer 1

设0=x1Aα1+x2Aα2+...+xsAαs=A(x1α1+x2α2+...+xsαs)，因为R(A)=n，所以Ax=0只有零解，所以x1α1+x2α2+...+xsαs=0，再由α1,α2,...,αs线性无关，得x1=x2=...=xs=0。所以Aα1,Aα2,...,Aαs线性无关。

Answer 2

根据线性无关的定义证明，λ1Aa1+λ2Aa2+...λsAas=0,A（λ1a1+λ2a2+....λsas）=0。假设λi（i=1,2...s）不全为零，则λ1a1+λ2a2+....λsas≠0。由于A的秩等于列数，所以A的列向量线性无关，但是A（λ1a1+λ2a2+....λsas）=0，所以（λ1a1+λ2a2+....λsas）=0，与λ1a1+λ2a2+....λsas≠0矛盾，所以假设假设λi（i=1,2...s）不全为零不成立，λi（i=1,2...s）全为0，所以Aa1，Aa2...Aas线性无关

Answer 3

设k1Aa1+k2Aa2+…ksAas=0（ki为数）
即A(k1a1+k2a2+…ksas)=0
即n维列向量k1a1+k2a2+…ksas是齐次线性方程AX=0的解，因为R(A)=n,所以齐次线性方程AX=0只有一组解，即为0解，
所以k1a1+k2a2+…ksas=0，
又因为a1,a2,a3……as是线性无关，
所以k1=k2=…=ks=0
所以Aa1,Aa2…Aas是线性无关的。

Answer 4

看字迹是个妹子啊～～哈哈
这么说吧，A可逆时，A乘以任一矩阵不改变其秩，

题里面α线性无关，即α组成的矩阵B可逆，

即r（AB）=r（A）=n
满秩。
无关