Question

各位高数大侠们能帮小弟解些题目么

各位高数大侠们能帮小弟借些题目么，我下周一前要用这些题目去演讲（占期末很大比重）
原题1： Suppose S and T are two nonempty sets of real numbers. If sup S > inf T,
Prove that there is s in S and t in T such that t<s.
假设S和T是两个非空实数集合， 若 sup(集合S）大于 inf(集合T)，
证明S和T分别存在s和t ，使得t<s.
原题2：S is a nonempty bounded subset of real number. a<0, Let aS={ as: s∈S}.
Prove that sup ‘as’=a×inf(S).
原题3： if a<x<b, a<y<b, show that |x-y|<b-a.
过程尽量详细点呗

Answer 1

1. ∵sup S > inf T，取s∈（inf T,sup S]，t=inf T，易见 t<s，即S和T分别存在s和t ，使得t<s.

2. 对S来说，任意s∈S等价于s∈[inf(S),sup(S)]

   ∵a<0,∴对于aS来说，as∈aS等价于as∈[inf(aS),sup(aS)],即as∈[a×sup(S),a×inf(S)]

   ∴sup as=a×inf(S)

3. a<x<b, a<y<b，即a，b均大于a小于b，所以无论a与b谁大谁小，总有|x-y|<b-a.

   如果不清楚的话可以分类讨论x<y和x>y两种情况。