Question

已知a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,求证a=b=c=d

Answer 1

解：由已知等式添项，得：
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0
(a^4-2a^2b^2+b^4)+(c^4-2c^2d^2+d^4)+(2a^2b^2-4abcd+2c^2d^2)=0
(a^4-2a^2b^2+b^4)+(c^4-2c^2d^2+d^4)+2(a^2b^2-2abcd+c^2d^2)=0
(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0
由于平方数都大于或等于0，且a、b、c、d>0，所以由上式可知：
(a^2-b^2)^2=0，可得：a^2=b^2，即a=b，
(c^2-d^2)^2=0，可得：c^2=d^2，即c=d，
2(ab-cd)^2=0，可得：ab=cd；
由a=b，c=d，ab=cd可得：a=b=c=d，