Question

如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，要求证明:①CE=

如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，要求证明:①CE=CF;②∠AEB=75°;③S正方形ABCD=2+√3

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵ AB＝AD AE＝AF ，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF．
又BC=DC，
∴BC-BE=DC-DF，即EC=FC
∴CE=CF，

（2）解：连接AC，交EF于G点，
∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，
∴AC⊥EF，
在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=1 2 ×2=1，
∴EC= 2 ，
设BE=x，则AB=x+ 2 ，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+ 2 ）2+x2=4，
解得x=− 2 + 6 2 ，
∴AB=− 2 + 6 2 + 2 = 2 + 6 2 ，
∴正方形ABCD的周长为4AB=2（ 2 + 6 ）．