Question

已知椭圆的焦点在X轴上，求适合下列条件的椭圆的标准方程

（1）a：b=5：3，焦距等于16；
（2）通过点（4，3）和（6，2）
（3）焦距为4/3根号33，且通过点（2，1）

Answer 1

(1)设椭圆的方程为 x^2/(5k)^2+y^2/(3k)^2=1 c^2=(5k)^2-(3k)^2=16k^2=(16/2)^2
k=2 x^2/100+y^2/36=1
(2)设椭圆的方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1
把点的坐标代入，16/a^2+9/b^2=1 36/a^2+4/b^2=1
解方程组，a^2=52 b^2=13 方程为 x^2/52+y^2/13=1
(3)焦距为4/3根号33，c^2=(2/3根号33）^2=44/3
设椭圆方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1，则有 a^2-b^2=44/3
把点（2，1）的坐标代入方程，4/a^2+1/b^2=1
解方程组得到 a^2=16 a^2=11/3（舍）
b^2=4/3
方程式为 x^2/16+y^2/(4/3)=1

Answer 2

（1）a：b=5：3，焦距2c=16；c=8,设a=5k,b=3k(k>0),a^2-b^2=c^2,
即(5k)^2-(3k)^2=(4k)^2=8^2,4k=8,k=2,a=10,b=6,所求椭圆标准方程为
(x^2)/100+(y^2)/36=1
（2）设所求椭圆方程为mx^2+ny^2=1,把（4，3）和（6，2）分别代入其中得
16m+9n=1,36m+4n=1解得m=1/52,n=1/13,所求椭圆标准方程为
(x^2)/52+(y^2)/13=1
（3）焦距为2c=4/3根号33，c=2/3根号33,c^2=a^-b^2=44/3，a^=b^2+44/3（*）
把（2，1）代入椭圆方程(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1得4/(a^2)+1/(b^2)=1（**）
由（*）（**）解得b^2=4/3,a^2=16,所求椭圆标准方程为
(x^2)/16+(y^2)/(4/3)=1

Answer 3

1 有焦距等于16得c=8，又a：b = 5：3，所以b2=36.a2=100，标准方程是X2/100+Y2/36=1
2 把点（4,3）和（6,2）代入椭圆标准方程得：a2=52； b2=13，标准方程是X2/52+Y2/13=1
3 焦距为4/3根号33，c^2=(2/3根号33）^2=44/3
设椭圆方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1，则有 a^2-b^2=44/3
把点（2，1）的坐标代入方程，4/a^2+1/b^2=1
解方程组得到 a^2=16 a^2=11/3（舍）
b^2=4/3
方程式为 x^2/16+y^2/(4/3)=1