Question

变化率与导数（急）

1.求函数y=3x^2+2在区间[x0,x0+△x]上的平均变化率,并分别求函数在x0=1,2,3,附近△x取二分之一时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小。
2.求函数y=x^3在x=1处的导数。
3.某物体走过的路程S是时间t的函数S=3t，求S’（3），并解释它的实际意义。
4.比较函数f（x）=2^与g（x），当x属于[1,2]时，平均增长率的大小。
5.已知f（x）=ax^2+2，若f‘（1）=4，求a的值。
尽量做啦，今天病了没听课，不会做啊。
抱歉抱歉，昏昏沉沉的，打漏了，4.比较函数f（x）=2^x与g（x）=3^x，当x属于[1,2]时，平均增长率的大小。
ps：那个第二题我看例题的格式是△y/△x这种啊，那个没看懂......

Answer 1

1.求函数y=3x² +2在区间[x。，x。+△x]上的平均变化率,并分别求函数在x。=1,2,3,附近△x取二分之一时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小。
【解答】
平均变化率 k₁= [f(1.5) - f(1)]/0.5 = [8.75 - 5]/0.5 = 7.5
平均变化率 k₂= [f(2.5) - f(2)]/0.5 = [20.75 - 14]/0.5 = 13.5
平均变化率 k₃= [f(3.5) - f(3)]/0.5 = [38.75 - 29]/0.5 =19.5
k ₁< k₂< k₃

2.求函数y=x³在x=1处的导数。
【解答】
y' = 3x²,
When x=1，y' = 3

【说明】
本题的要求是求导数，导数是某点的增长率，不可以用△y/△x。
如果你的老师坚持这么做，说明他的微搏手积分功底还笑早很薄弱。

△y/△x是算的平均增长率，在算平均增长量时，如果用到导数，那就必须给出
x的范围，工程误差，实验数据分析都是这样。看来本题是你的老师误导你了。

只有一个点时，用导数算，算出来的是某点的变化率的准确值，变化率可以是
时间变化率，可以是空间变化率。
用两点算时，算出的是平均值，是大概的数值。
本题只有x=1，应该是老师在微积分上还没有入门。

3.某物体走过的路程S是时间t的函数S=3t，求S’（3），并解释它的实际意义。
【解答】
本题的出题老师的物理概念不严谨，不可以是路程，而应该是位置坐标！
只有位置坐标的求导才是速度，是瞬时速度。路程求导是一个糊涂概念。
S' = 3. 表示是匀速直线运动。速度的大小是 3。

4.比较函数f(x)=2^x 与g(x)=3^x，当x属于[1,2]时，平均增长率的大小。
【解答】
For f(x)：△y/△x = [2² - 2¹]/[2-1] = 2
For g(x)：△y/△x = [3² - 3¹]/[2-1] = 6。
So, g(x) 在[1，2]区间上的平均增长率大于f(x)。

5.已知f（x）=ax^2+2，若f‘（1）基升嫌=4，求a的值。
【解答】
f'(x) = 2ax
f'(1) = 2a
令 2a = 4
a = 2