Question

一道大一的高数题？

为什么：lim n趋近无穷 (1/n*2+2/n*2+..............+n/n*n) 不等于 lim n趋近无穷 1/n*2+lim n趋近无穷 2/n*2+.................lim n趋近无穷 n/n*2？
极限的四则运算在这里为什么不能够应用？还有什么时候不能应用四则运算法则？
极限为0/0，∞/∞，∞+∞，属于不定式，不能运用四则运算。那么当极限是∞-∞，0-0时结果是什么？

Answer 1

极限的四则运算，有限项可以。无限项不可以。
这个题目，当n->∞的时候，项数也趋于无穷了。无穷项不能用加减运算了。

还有当极限不存在的时候，也不能用
lim(an±bn)，limanbn，liman/bn如果liman和limbn都不存在，那么也不能分开算，只能做整体an±bn，anbn，an/bn来求极限。

0-0的结果当然是0了。∞-∞具体情况，具体分析。一般要通分来算的。

追问

极限为0/0，∞/∞，∞+∞，属于不定式，不能运用四则运算。那么当极限是∞-∞，0-0时结果是什么？

追答

0-0的结果当然是0了。∞-∞具体情况，具体分析。一般要an和bn通分后，化成分式，再来算的。

Answer 2

先回答你后面一个问题吧，四则运算什么时候可以用什么时候又不可以用？

Q：比如lim (an + bn)，我什么时候可以拆成lim an + lim bn？
A：lim an、lim bn均存在的时候
Q：其他的- × ÷也是一样吗？
A：类比于+，也是一样的
Q：这里是两个数列进行四则运算，那么可以推广到无限个吗？
A：当然是不可以的，比如n个1/n相加，本来极限是1，如果按照四则运算法则来算的话为0，这显然是不正确的

那么要注意一下，只能推广到有限个数列，题目这种情况是无限种，所以不能用。

追问

极限为0/0，∞/∞，∞+∞，属于不定式，不能运用四则运算。那么当极限是∞-∞，0-0时结果是什么？

追答

这个我是一定要通过例子来跟你说的
比如√(n+1) - √n，这个极限怎么求？分子有理化，同时乘以 √(n+1) + √n
那么1/ (√(n+1) + √n) 这个极限是0
而√(n²+1) - √n这个同样经过上述操作之后发现极限是+∞了

那么∞-∞也是可以通过这样的处理（分子有理化或分母有理化）来求极限的
当然，还可以用罗比达、Stolz、常用极限、夹逼等等方法来做

追问

极限为∞+∞的结果呢？是不是也等同于∞-∞的处理？0-0呢？

追答

如果是正无穷加正无穷当然结果还是正无穷，除非是两个无穷大之差才用其他的解决办法

追问

那0-0型的呢？lim（x->0)sinx-x的极限为0 那是否有0-0型极限不为0的情况？

追答

当然只会等于0啊，除非是0/0形