Question

如图，四边形ABCD内接于圆O,AB,DC延长线交于点E,∠AED的角平分线分别交BC，AD于点F，G

求证：∠GFC=∠DGF

Answer 1

证明：过点O作OH⊥DE于点H，OK⊥AE于点K
∴OH=OK
∵∠AED的角平分线分别交BC，AD于点F，G
∴GE角平分线线上点到两端DE、AE距离相等
又圆心也符合此性质
∴O在GE上
那么由垂径定理可得
OG⊥DA OF⊥BC
∴∠GFC=∠DGF=90°

答题不易，且回且珍惜
如有不懂请追问，若明白请及时采纳，祝学业有成O(∩_∩)O~~~

Answer 2

是任意四边形，EG不过圆心，也要证明出：∠GFC=∠DGF
现在有事，我下午来做。等我一下。

追问

谢谢你！

追答

我刚才提示你，他们都做错了，怪我没有明说。我叫你等一下，你却采纳了错误的，以后采纳要慢一点，看看还有什么好的答案。因为要抢第一，网上答案很容易粗糙和错误。
这道题ABCD是任意四边形，EG是不过圆心的，∠GFC和∠DGF也不是直角，也要证明出：∠GFC=∠DGF。(只有等腰梯形是特例，EG是过圆心的，∠GFC和∠DGF是直角，另二位就是证明了等腰梯形这个特例。)

虽然你采纳了，但是我还是要给你做个正确的答案。这是我对你负责，也是我刚刚的承诺。其实这道题目并不是很难，要了解角与角之间的关系。加上圆，有点综合性。

证明：∵∠BCE=180º-∠BCD (这不用解释了吧)
∵∠A=180º-∠BCD (四点共圆二个对角和等于180º)
∴ ∠BCE=∠A (等量代换)
又 ∠DEG=∠AEG (已知)
∴∠BCE+∠DEG =∠A+∠AEG (等量加等量和相等)
∵∠GFC=∠BCE+∠DEG (三角形一个外角等于二个不相邻的内角之和)
∠DGF=∠A+∠AEG (三角形一个外角等于二个不相邻的内角之和)
因此：∠GFC=∠DGF(等量代换)

不好意思，给你做晚了，但愿你能尽早看到这个答案；如能帮助到你，我很高兴。祝你学习进步！

追问

谢谢你！

Answer 3

证：∵AE：BE＝DE：CE，∠AED即∠BEC（公共角）
∴△AED∽△BEC
∴BC‖AD
∴∠DGE＝∠CFE
∵G、F、E三点共线
∴∠GFE＝180°
∴∠DGE＝∠CFE＝90°
∴∠CFG＝∠DGF＝90°
∴∠GFC=∠DGF

追问

谢谢你！