Question

√(1+x²)积分

请问√(1+x²)的不定积分能算吗？

Answer 1

令x=tant,t∈(-π/2,π/2),则√(1+x²)=sect, dx=sec²tdt∫√(1+x²) dx=∫sec³t dt=∫sect d(tant) =sect*tant-∫tant d(sect) =sect*tant-∫tan²t*sectdt =sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt =sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt ∴∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+C ∴原式=(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+CC为任意常数