Question

初三几何。

在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是同一平面内的一个动点且满足∠BPC=90°，连接AP。
试求线段AP长的最小值与最大值。
图不画了。也不复杂。没图也可。

Answer 1

解：（1）∵F为BD中点，DE⊥AB，
∴CF= 1/2BD，EF= 1/2BD，
∴CF=EF，
∴k=1；
故答案为1．
（2）如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．

由题意，tan∠BAC= 1/2，
∴ BC/AC=DE/AE=1/2．
∵D、E、B三点共线，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴ BC/AC=GB/AE=1/2
∴GB=DE．
∵F是BD中点，
∴F是EG中点．
在Rt△ECG中， CF=1/2EG，
∴BE-DE=EG=2CF；
（3）情况1：如图，当AD= 1/3AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，
∵∠ACB=90°，tan∠BAC= 1/2，且BC=6，
∴AC=12，AB= 6根号5．
∵M为AB中点，
∴CM= 3根号5，
∵AD= 1/3AC，
∴AD=4．∵M为AB中点，F为BD中点，
∴FM= 1/2AD=2．
如图：∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，
此时CF=CM+FM= 2+3根号5．
情况2：如图，当AD= 2/3AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，
类似于情况1，可知CF的最大值为 4+3根号5．
综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的
三等分点时，线段CF的长度取得最大值为 4+3根号5．

Answer 2

在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是同一平面内的一个动点且满足∠BPC=90°，连接AP。
试求线段AP长的最小值与最大值。

因为“点P是同一平面内的一个动点且满足∠BPC=90°”
所以：动点P在以BC为直径的圆上，因此：√5-1≤AP≤√5+1

Answer 3

以BC中点D为圆心，半径长为1做圆。
易得p为圆上的任一点。（BC除外）（直径所对应的角为90°）
那么题目就变成了定点A到定圆最大和最小距离问题了。
连接AD并延长，与圆D有两个交点，分别为最大和最小距离。