Question

高数题：设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)=f(b)=0,又g(x)在[a,b]上连续,求证,存在ξ∈(a,b)

使得f'(ξ)=g(ξ)f(ξ)
答案里用的是作辅助函数的方法，但是我看不懂，求各位的大神给个详细点的解释，谢谢！

Answer 1

设F(x)=f(x),G(x)=x^2在[a,b]上由柯西中值定理得，存在η属于(a,b)使
[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)=f'(η)/2η
又由拉格朗日中值定理知，存在ξ属于(a,b)使
f(b)-f(a)=(b-a)f'(ξ) 将此式带入上式得
(b-a)f'(ξ)/(b^2-a^2)=f'(η)/2η
即f'(ξ)=[(a+b)/2η]f‘(η)于是得证。
希望能解决您的问题。

追问

还是不明白啊，最后一步，(b-a)f'(ξ)/(b^2-a^2)=f'(η)/2η
即f'(ξ)=[(a+b)/2η]f‘(η)这里，是怎么变出来的啊？而且即使得到了最后一步，又怎么出来f'(ξ)=g(ξ)f(ξ)的呢？麻烦大神再解答一下，谢谢！