设f'(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导对a<c<b有f(a)=f(b)=f(c),证明存在一点ξ∈(a,b),使f'(ξ)=0
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【答案】:证明过程如下:
因为f'(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,所以f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又因为f(a)=f(b)=f(c),满足罗尔定理的条件,所以由罗尔定理可得:存在ξ1∈(a,b)、ξ2∈(b,c)使得f'(ξ1)=0、f'(ξ2)=0;在区间(ξ1,ξ2)上再次使用罗尔定理得:存在一点ξ∈(ξ1,ξ2)∈(a,b),使f"(ξ)=0,题目得证。
因为f'(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,所以f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又因为f(a)=f(b)=f(c),满足罗尔定理的条件,所以由罗尔定理可得:存在ξ1∈(a,b)、ξ2∈(b,c)使得f'(ξ1)=0、f'(ξ2)=0;在区间(ξ1,ξ2)上再次使用罗尔定理得:存在一点ξ∈(ξ1,ξ2)∈(a,b),使f"(ξ)=0,题目得证。
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