Question

设f(x)=x ︳ x-a︳+2x,若a属于（-3，3）此处是中括号，使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,

则实数t的取值范围是

Answer 1

f(x)=x |x-a︳+2x,f(a)=2a,
a∈[-3,3],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,
<==>g(x)=f(x)-2at={x^2+(2-a)x-2at,x>=a;
{-x^2+(2+a)x-2at,x<a有3个相异的零点，
第一段函数g1(x)=[x+(2-a)/2]^2-(2-a)^2/4-2at,
第二段函数g2(x)=-[x-(2+a)/2]^2+(2+a)^2/4-2at,其图像呈"N"字形，
1)a>2时(2+a)/2<a，(2-a)/2<a,g1(x)是增函数，
-(2-a)^2/4-2at>0>g1(a)=2a-2at,
-(2-a)^2/(8a)>t>1,不可能；
2)2/3<=a<=2时（2+a)/2>=a>=(2-a)/2,g1(x),g2(x)都是增函数，不可能；
3)-3<=a<2/3时（2+a)/2>=a，(2-a)/2>a,g2(x)是增函数，
g2(a-)=2a-2at>0>-(2-a)^2/4-2at,
1>t>-(2-a)^2/(8a),右端最大值为0，
∴1>t>0,为所求.