Question

在圆x 2 +y 2 =4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|= 2 |D

在圆x 2 +y 2 =4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，点M在线段PD上，且|DP|= 2 |DM|，点P在圆上运动．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）过定点C（-1，0）的直线与点M的轨迹交于A、B两点，在x轴上是否存在点N，使 NA ? NB 为常数，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y 1 ） ∵|DP|= 2 |DM|，∴ | y 1 |= 2 |y| ∵P（x，y 1 ）在圆x 2 +y 2 =4上，∴ x 2 + y 1 2 =4 ∴x 2 +2y 2 =4 ∴点M的轨迹C的方程为 x 2 4 + y 2 2 =1(x≠±2) ； （Ⅱ）假设存在N（n，0） AB斜率存在时，设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），AB方程：y=k（x+1）， 代入椭圆方程得：（2k 2 +1）x 2 +4k 2 x+2k 2 -4=0，∴x 1 +x 2 =- 4 k 2 1+2 k 2 ，x 1 x 2 = 2 k 2 -4 1+2 k 2 ∵ NA =( x 1 -n， y 1 )， NB =( x 2 -n， y 2 ) ， ∴ NA ? NB =（x 1 -n，y 1 ）?（x 2 -n，y 2 ）=（1+k 2 ）x 1 x 2 + ( k 2 -n)( x 1 + x 2 )+ k 2 + n 2 = 1 2 (2 n 2 +4n-1)- 2n+ 7 2 1+2 k 2 ∵ NA ? NB 是与k无关的常数， ∴ 2n+ 7 2 =0 ∴n=- 7 4 ，即N（- 7 4 ，0），此时 NA ? NB =- 15 16 当直线AB与x垂直时，n=- 7 4 时 NA ? NB =- 15 16 综上所述，在x轴上存在定点N（- 7 4 ，0），使 NA ? NB 为常数．