Question

设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．（1）求（1+x1）（1+x2）的值；（2）求证：x1

设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0（a＞0）有两个实根x1，x2．（1）求（1+x1）（1+x2）的值；（2）求证：x1＜-1，且x2＜-1；（3）如果x1x2∈[110，10]，试求a的最大值．

Answer 1

（1）∵关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂．
∴x1+x2＝?

1

a

，x1x2＝

1

a

．
∴(1+x1)(1+x2)＝1+(x1+x2)+x1x2＝1?

1

a

+

1

a

＝1．
（2）令f（x）=ax²+x+1，由△＝1?4a≥0得0＜2a≤

1

2

，
∴抛物线f（x）的对称轴x＝?

1

2a

≤?2＜?1．
又f（-1）=a＞0，所以f（x）的图象与x轴的交点都在点（-1，0）的左侧，
故x₁＜-1，且x₂＜-1．
（3）由（1），x1＝

1

1+x2

?1＝?

x2

1+x2

．

x1

x2

＝?

1

1+x2

∈[

1

10

，10]，所以?

1

x2

∈[

1

11

，

10

11

]．
∴a＝

1

x1x2

＝?

1+x2

x   2 2

＝?[(?

1

x2

)?

1

2

]2+

1

4

，
故当?

1

x2

＝

1

2

时，a取得最大值为

1

4

．